Área bajo la curva

De seguro ya sabes cómo calcular el área de una figura geométrica basándote en su fórmula general, ahora ¿qué harías si debes hallar el área bajo la curva de la función? Encontrar el área que está bajo la curva de un función, es uno de los problemas principales que originó el Cálculo. El enfoque principal en el cálculo es tomar un método simple, aplicarlo en una escala pequeña y después llevarlo hasta el infinito.

Suma de Riemann

Este es un método para hallar el área bajo una curva, creado por el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann, consiste en dividir el área bajo la curva en rectángulos o trapecios, normalmente de ancho igual, de manera que todas estas áreas juntas formen una región lo más similar posible al área de la curva que queremos determinar, entre más rectángulos se escriban mayor precisión tenemos del área.

Definición formal de suma de Riemann

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:

Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud Δx=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* = a + Δx, y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:

n
Σ	[ f(x)Δ(x)*]

k=1

Ejemplo:

Calcular la suma de Riemann para la función f(x)=2x en el intervalo [0, 4], con 5 rectángulos.

Desarrollo:

Identificamos el valor de a, b y n:

a=0 , b=4 y n=5

Hallamos Delta de x:

Δx=(b-a)/n -> Δx=4-0/5 -> Δx=4/5

Hallamos los valores de x* las veces que nos indique n (el número de rectángulos), el primer valor es 0, luego tomamos delta de x, ya que es una suma por izquierda.

x*= a+Δx

x*₁=0 + 4/5 -> x*₂ =4/5
x*₂ = 4/5+ 4/5 -> x*₃=8/5
x*₃ = 12/5+ 4/5 -> x*₄=16/5
x*₄ = 125+ 4/5 -> x*₅=16/5

x*₅ = 125+ 4/5 -> x*₅=16/5

Ahora hallamos f(x*) , recordemos que f(x)=2x entonces resulta:

f( x*₁) = 2(4/5)=8/5
f( x*₂) = 2(8/5)=16/5
f( x*₃) = 2(16/5)=32/5
f(x*₄) = 2(32/5)=64/5

f(x*₄) = 2(64/5)=128/5

Ahora [ f(x*)Δ(x)]

[ f(x*₁)Δ(x)] = [ (0)(4/5)] = 0

[ f(x*₂)Δ(x)] = [ (8/5)(4/5)] = 32/25

[ f(x*₃)Δ(x)] = [ (16/5)(4/5)] = 64/25
[ f(x*₄)Δ(x)] = [ (32/5)(4/5)] =128 /25
[ f(x*₅)Δ(x)] =[ (64/5)(4/5)] =256 /25

Por último sumamos estos valores, y nos resulta que el área bajo la curva f(x)=2x en el intervalo [0, 4], con 5 rectángulos es:

A=992/25

A=39.68 u²

Entre más rectángulos ocupemos más nos acercamos al área exacta bajo la curva de la función, a continuación te invito a ver un vídeo sencillo acerca del método de suma de Riemann

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